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计算地球动力学  071M4011H

学期:2016-2017学年秋 | 课程属性:专业核心课 | 任课教师:张怀
课程编号: 071M4011H 课时: 60 学分: 4.0
课程属性: 专业核心课 主讲教师:张怀
英文名称: Computational Geodynamics

教学目的、要求

《计算地球动力学》是一门针对“地球科学学院”地球动力学领域研究生开设的核心课程,也可以作为其他专业方向的专业基础。通过本课程的学习,掌握差分法、有限元方法等数值计算的基本概念、方法及原理,初步具有应用计算机从事地球动力学前沿科知识题研究的能力。课程将重点讲述数值计算方法基础、差分法、有限元方法(含谱元法和非连续加列金算法Discontinuous Galerkin)、地球动力学基本物理模型及其数值解法、国际最新的关于超大规模并行数值模拟前沿发展的一些基本问题,例如区域分解算法、MIC和GPU计算等前沿研究方向和在计算地球动力学的应用问题。
其中有限元方法是现代计算科学中最重要,使用最广泛的数值计算方法之一。在地球科知识题的研究中,有限元方法也是使用最多的数值计算方法。理解和掌握有限元方法对将来从事地球科学研究的同学至关重要。另外,以往的对地球科学诸学科的学生的有限元方法的培养,过多重视应用,忽略了理论基础的培养。极大地影响到了同学进行长期科研活动的创造能力。因此本课程的主要目的就是从有限元的数学基础理论入手,从理论基础和实际模型设计方面,综合培养扎实的有限元理论基础和实际应用基础。
课程同时安排大量的作业,安排部分并行计算机和并行计算环境上机实习,初步体验并行有限元方法App的设计和使用。用来加深对同学课堂理论掌握的同时,要从实践上,培养学生对常识的理解力和科研创造能力以及独立思维的能力。 

预修课程

1. 数值分析或数值计算方法; 2. 弹性力学或连续介质力学;

教 材

1. 李庆扬、王能超、易大义,《数值分析》(第五版)。北京:清华大学出版社,施普林格出版社,2001。 2. 《有限元法及其理论基础》,姜礼尚,庞之垣(有限元理论基础部分)

主要内容

1-3:计算地球动力学基本先容
1.	主要为PPT讲解当代计算地球动力学的最新发展及学好这门课程需要掌握的基础常识,将要讲述的大致内容;

4-12学时为数值计算方法基础常识及巩固
4-6:误差与有效数字基础 
1.	有效数字
2.	绝对误差与相对误 
3.	数值计算中需要注意的问题  

7-9:插值方法 
1.	Lagrange 插值公式的计算与插值余项
2.	Newton 插值与均差(差商) 
3.	差分法
4.	高次插值多项式的问题:Runge现象
5.	分段线性插值 

10-12:解非线性方程的迭代数值方法
1.	定点迭代法的基本思想 
2.	收敛定理与误差估计
3.	Newton迭代算法及其几何意义 
4.	Newton法的收敛速率 

13-15:线性方程组的数值解法 
1.	顺序Gauss消去法,列主元Gauss消去法 
2.	LU分解,三对角方程组的追赶法,对称矩阵的Cholesky分解,正定矩阵的平方根法 
3.	向量与矩阵的范数  
4.	矩阵的条件数 

16-18: 解线性方程组的迭代法 
1.	Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 
2.	超松驰(SOR)迭代法  
3.	迭代法的收敛性定理 
4.	迭代收敛速度 

19-21: 数值积分与数值微分
1.	Newton-Cotes求积公式与代数求积精度
2.	复合求积公式,Simpson求积公式
3.	Gauss求积公式
4.	Romberg求积公式与Richardson外推法

22-24: 函数逼近与数据拟合
1.	正交函数系的概念 
2.	常用的正交多项式的构造      
3.	函数的最佳平方逼近的概念及计算 
4.	最小二乘法,用正交函数作最小二乘
5.	快速傅里叶变换(Optional)

25-27:常微分方程的数值解 
1.	Euler方法,梯形公式和改进Euler方法
2.	二阶、四阶Runge--Kutta法 
3.	单步法与线性多步法的收敛性与稳定性;
4.	Adams方法 、Adams外推公式与预报-校正公式
5.	常微分方程组和高阶微分方程的数值方法  
6.	方程组的刚性

28-30: 有限元方法基础:一个简单的例子
1.	一维弹性杆的重力拉伸问题
2.	一个简单的有限元例子:偏微分方程和有限元解题步骤
3.	刚度矩阵与边界条件处理
4.	有关非奇异性和正定性的讨论
5.	有关边界条件的讨论

31-33:一般二阶常微分方程边值问题的有限元方法
1.	有限元方法解题步骤
2.	Gauss公式与Green第一公式
3.	刚度矩阵与边界条件处理
4.	有关非奇异性和正定性的讨论
5.	有关第一、二、三类边界条件与讨论
6.	间断系数问题的一般性

34-36: 线弹性问题的有限元方法
1.	基本物理问题
2.	基本方程:本构方程、几何方程和平衡方程
3.	平面应力和平面应变
4.	各向同性和各向异性问题
5.	边界条件类型和处理:正交子空间构造与Gram-Schmidt orthogonalization 过程

37-49:单元理论基础
1.	常用最基本的单元类型和表示方法
2.	单元插值基函数的构造技巧
3.	三角形单元的形函数构造
4.	Lagrange和Hermite型单元

40-42:等参(数)元与单元计算
1.	等参数元的基本定义
2.	单元Jacobi矩阵
3.	单元数值微分
4.	单元数值积分

43-45:Litz法与Galerkin法理论基础(变分法初步)
1.	最简泛函的定义
2.	最简泛函的变分、极值必要条件
3.	欧拉方程
4.	Litz法与Galerkin法比较

46-48:非线性有限元基本理论基础
1.	方程的非线性
2.	定点迭代法在非线性有限元方法中的应用
3.	Newton迭代算法在非线性有限元方法中的应用
4.	方程分析技巧
5.	初边值与收敛性

49-51:发展方程的有限元方法
1.	发展方程的定义与特征
2.	时间一阶格式的发展方程算法
3.	Euler向前、Euler向后和Crank-Nicolson算法
4.	时间二阶格式的有限元算法
5.	Newmark算法及其特性
6.	初边值条件、稳定性的讨论

52-54:耦合方程的有限元方法
1.	耦合方程的定义
2.	一个简单的耦合算例(热弹性问题有限元方法)
3.	(非)线性耦合系数的求解域传递
4.	耦合方程的收敛性问题
5.	耦合方程的稳定性问题

55-57:计算地球动力学中常用的有限元模型和算法
1.	能量方程:温度场对流扩散方程
2.	弹性方程:各向同性和各向异性、有限变形基本理论
3.	粘弹性有限元方程
4.	Navier-Stokes方程与Stokes方程
5.	Maxwell方程组的求解算法

58-60:当代计算地球动力学:发展方向和前沿研究领域
1.	计算地球动力学的发展现状和方向
2.	超大规模并行数值模拟在计算地球动力学中的应用
3.	可视化/超大规模数据的并行可视化
4.	数据同化方法
5.	MIC计算(Intel Xeon Many Integrated Cores)
6.	GPU计算
7.	Knights Landing 计算

备选讲授内容:(视同学们对课程进度的掌握情况而定)
1.	求解大规模稀疏方程组的Krylov子空间迭代算法
2.	共轭梯度算法基础
3.	最小二乘殘量算法基础
4.	Krylov子空间
5.	大规模稀疏线性系统的特征值问题的求解
6.	非结构化方格自动生成算法
7.	谱元法(SEM,Spectral Element Method)
8.	非连续伽略金算法(DG, Discontinuous Galerkin Method)

参考文献

1.	Jeffery J. Leader,《数值分析与科学计算》(中译本),清华出版社,2008
2.	白峰杉,《数值计算引论》,高等教育出版社,2004
3.	丁丽娟编著,《数值计算方法》,北京理工大学出版社,1997
4.	蒋友谅,《非线性有限元方法》(有限变形理论、连续介质力学部分)
5.	殷有泉,《有限元方法及其地学中的应用》,(弹塑性力学部分)
6.	王勖成,《有限单元法基本原理和数值方法》
7.	《变分法、有限元法和外推法》

授课时间: 星期一, 第1、2、3节
授课地点: 教2-223
授课周次: 2、3、4、5、7、8、9、10、11、12

授课时间: 星期三, 第1、2、3节
授课地点: 教2-223
授课周次: 2、3、4、5、7、8、9、10、11、12

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